用MATLAB绘制系统根轨迹和性能分析

一、练习目的

熟悉MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。

利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。

掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。

掌握系统参数变化对特征根位置的影响。

二、练习内容

1、单位负反馈系统的开环传递函数为

，试求：（1）系统的根轨迹；（2）系统稳定的K的范围；（3）K=N/100时闭环系统阶跃响应曲线 (N=135）

2、系统的开环传递函数为，用rlocfind函数找出能产生主导极点阻尼=0.707的合适增益。(N同上)

四、结果

1.

（1）（2）程序代码如下

num=[1 5 6]; %系统传递函数分子
den=[1 8 3 25]; %系统传递函数分母
G=tf(num,den); %原系统开环传递函数
K=0:0.05:200; %给定K的范围
rlocus(G) %绘制系统的根轨迹 
pause(K)
[K,POLES]=rlocfind(G) %用于选取临界稳定值

根轨迹图如下

K的范围(0<=K<=4)

（3）程序代码如下

clear;
num=[1 5 6]; %系统传递函数分子
den=[1 8 3 25]; %系统传递函数分母
G=tf(num,den); %原系统开环传递函数 
rlocus(G) %绘制系统的根轨迹 
figure(2) %开一新窗口
K=135/100; %K=0.35
t=0:0.05:10; %给定时间范围
G0=feedback(tf(K*num,den),1); %得到闭环系统传递函数
step(G0) %得到闭环系统的阶跃响应
gtext('K=1.35'); %放置说明文字 135/100
根轨迹与虚轴有交点,所以在K从零到无穷变化时,系统的稳定性会发生变化，可知系统稳定时K范围大概是（0<=K<=4)之间。

分析根轨迹的绘制规则

由以上根轨迹图知， 根轨迹起于开环极点， 终于开环零点。 在复平面上标出系统的开环 零极点后 ,可以根据其零极点数之和是否为奇数确定其在实轴上的分布。根轨迹的分支数等 于开环传递函数分子分母中的最高阶次 ,根轨迹在复平面上是连续且关于实轴对称的。当开 环传递函数的分子阶次高于分母阶次时 ,根轨迹有 n-m 条沿着其渐近线趋于无穷远处。根轨 迹位于实轴上两个相邻的开环极点或者相邻零点之间存在分离点 ,两条根轨迹分支在复平面 上相遇在分离点以某一分离角分开 ,不在实轴上的部分 ,根轨迹以起始角离开开环复极点 ,以 终止角进入开环复零点。有的根轨迹随着 K 的变化会与虚轴有交点。在画图时 ,确定了以上 的各个参数或者特殊点后 ,就可得系统的根轨迹概略图

根轨迹和阶跃信号 如下图所示

根轨迹图形

阶跃信号图形

2.

程序代码如下

num=1.35; % N=135/100 
den=conv([1 1 0],[1 2]); %系统传递函数分母
G=tf(num,den);
zet=[0.1:0.2:1];
wn=[1:10];
sgrid('new'); %清屏
sgrid(zet,wn); %绘制由用户指定的阻尼比矢量z、自然振荡频率wn的格线 
hold on;
rlocus(G)
[K,r]=rlocfind(G)

主导极点阻尼=0.707的合适增益产生的图形

K=1.46 将使得整个系统的阻尼比接近 0.707 ，主导极点的结果与实际系统的闭环响应非常 接。